Operator Logika

LOGIKA 

Logika merupakan dasar dari semua penalaran (reasoning)

• Penalaran didasarkan pada hubungan antara pernyataan (statements).
• Definisi : Suatu pernyataan adalah suatu kalimat yang menyatakan sesuatu, yang dapat diberi satu dan dua kemungkinan nilai kebenaran, yaitu benar atau salah.
• Definisi : Kalimat terbuka adalah kalimat yang memuat variabel. Menjadi pernyataan apabila variabelnya diganti oleh suatu anggota semesta pembicaraan.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
INGKARAN / NEGASI

Dari sebuah pernyataan tunggal (atau majemuk), kita bisa membuat sebuah pernyataan baru berupa “ingkaran” dari pernyataan itu. “ingkaran” disebut juga “negasi” atau “penyangkalan”. Ingkaran menggunakan operasi uner (monar) “” atau “”.
Jika suatu pernyataan p benar, maka negasinya p salah, dan jika sebaliknya pernyataan p salah, maka negasinya p benar.

Perhatikan cara membuat ingkaran dari sebuah pernyataan serta menentukan nilai kebenarannya!
1.    p         : kayu memuai bila dipanaskan (S)
    ~ p         : kayu tidak memuai bila dipanaskan (B)

2.    r         : 3 bilangan positif (B)
    ~ r         : (cara mengingkar seperti ini salah)

3. bilangan negative

(Seharusnya) 3 bukan bilangan positif  (S)

Nilai kebenaran
Jika p suatu pernyataan benilai benar, maka  ~p bernilai salah dan sebaliknya jika p bernilai salah maka ~p bernilai benar.

Tabel kebenaran:

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
KONJUNGSI

Gabungan  dua  pernyataan  tunggal  yang  menggunakan  kata penghubung  “dan”  sehingga  terbentuk  pernyataan majemuk  disebut konjungsi. Konjungsi mempunyai kemiripan dengan operasi irisan () pada  himpunan.  Sehingga  sifat-sifat  irisan  dapat  digunakan  untuk mempelajari  bagian  ini.
Operasi konjungsi sering juga ditunjukkan dengan hubungan seri pada rangkaian listrik seperti gambar berikut:

Gambar rangkaian seri

Dari gambar rangkaian diatas menggunakan saklar symbol saklar 1 diberi symbol p dan saklar 2 diberi symbol q. Saklar terbuka (off) sebagai  pernyataan benar, saklar tertutup (on) sebagai pernyataan salah. Lampu yang dipasang pada rangkaian sebagai kebenaran dari pernyataan tersebut.

1. Jika saklar p dan q tertutup (on) ternyata lampu menyala maka pernyataan bernilai benar
2. Jika salah satu saklar p atau q terbuka (off) ternyatalampu tidak menyala maka pernyataan bernilai salah.
3. Jika keduanya saklar p dan q terbuka (off) ternyata lampu juga tidak menyala, maka pernyataan bernilai salah.

Berdasar kasus di atas, dapat disimpulkan bahwa suatu konjungsi p ∧ q pada lampu akan menyala hanya jika komponen-komponennya, yaitu baik p maupun q, keduanya sama-sama tertutup sedangkan nilai kebenaran yang selain itu tidak menyala sebagaimana ditunjukkan pada tabel kebenaran berikut:
 

Contoh
Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan majemuk pq berikut ini!
a.    p         : 100 + 500 = 800
       q         : 4 adalah faktor dari 12
b.    p         : Pulau Bali dikenal sebagai pulau Dewata
       q         : 625 adalah bilangan kuadrat

Jawaban:
a.   p salah, q benar
     p  q : 100 + 500 = 800 dan 4 adalah faktor dari 12 (Salah)
     Jadi,  (p  q) = S.

b.   (p) = B,   (q) = B.
      p  q : Pulau Bali dikenal sebagai pulau Dewata dan 625 adalah
      bilangan kuadrat (benar).
      Jadi, (p  q) = B.



-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
DISJUNGSI 


Disjungsi adalah proposisi majemuk yang menggunakan perangkai “atau”.

Poposisi  “p  atau  q”  dinotasikan q    p.  Tidak  seperti  pernyataan  berperangkai “dan”  yang  mempersyaratkan  terpenuhinya  kebenaran  semua  unsurnya,  pernyataan  berperangkai  “atau” menawarkan  suatu  pilihan,  artinya  jika  paling tidak salah satu dari kedua unsur proposisinya terpenuhi maka hal ini sudah cukup untuk pernyataan tersebut dikatakan benar.

Operasi konjungsi sering juga ditunjukkan dengan hubungan paralel pada rangkaian listrik seperti gambar berikut :
 

Gambar Rangkaian Paralel

Dari gambar rangkaian diatas menggunakan saklar symbol saklar A diberi symbol p dan saklar B diberi symbol q. Saklar terbuka (off) sebagai  pernyataan benar, saklar tertutup (on) sebagai pernyataan salah. Lampu yang dipasang pada rangkaian sebagai kebenaran dari pernyataan tersebut.

1. Jika saklar p dan q tertutup (on) ternyata lampu menyala maka pernyataan bernilai benar
2. Jika salah satu saklar p tertutup (on) dan q terbuka (off), atau jika salah satu saklar p terbuak (off) dan q tertutup (on) ternyata lampu menyala maka pernyataan bernilai benar.
3. Jika keduanya saklar p dan q terbuka (off) ternyata lampu juga tidak menyala, maka pernyataan bernilai salah.

Dari gambar rangkaian diatas  tampak bahwa  lampu tidak menyala jika saklar p maupun q sama-sama terbuka atau keduanya salah. Kita sarikan definisi konjungsi dengan tabel kebenaran berikut.

Tabel Kebenaran Disjungsi

Contoh
Tentukanlah nilai kebenaran untuk disjungsi dua pernyataan yang diberikan !
a.     p : 3 + 4 = 12
        q : Dua meter sama dengan 200 cm

b.     p : 29 adalah bilangan prima
        q : Bandung adalah ibu kota Provinsi Jawa Barat

c.     p : Dua garis yang sejajar mempunyai titik potong
        q :    adalah bilangan cacah.


Jawaban:
a.   (p) = S,   (q) = B.
      Jadi, (p  q) = B.
      p  q :   3 + 4 = 12 atau dua meter sama dengan 200 cm (benar).

b.   (p) = B,   (q) = B.
      Jadi, (p  q) = B.
      p  q :   29 adalah bilangan prima atau Bandung adalah ibukota Provinsi Jawa barat (benar).

c.   (p) = S,   (q) = S.
      Jadi, (p  q) = S.


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

PROPOSISI

• Pernyataan atau kalimat deklaratif yang bernilai benar (true) atau salah (false), tetapi tidak keduanya.

“kerbau lebih besar daripada keledai.”

Apakah ini sebuah pernyataan? YA

Apakah ini sebuah proposisi? YA

Apakah nilai kebenaran dari proposisi ini?

“w > 9”

Apakah ini sebuah pernyataan? YA

Apakah ini sebuah proposisi? TIDAK

Nilai kebenaran dari pernyataan tersebut bergantung pada W, tapi nilainya belum ditentukan.

Pernyataan jenis ini kita sebut sebagai fungsi proposisi atau kalimat terbuka.

“Sekarang tahun 2013 dan 10 < 12.”

Apakah ini sebuah pernyataan? YA

Apakah ini sebuah proposisi? YA

Apakah nilai kebenaran dari proposisi ini? YA

“Tolong untuk tidak Makan selama kuliah”

Apakah ini sebuah pernyataan? TIDAK

Ini adalah sebuah permintaan.

Apakah ini sebuah proposisi? TIDAK

Hanya pernyataanlah yang bisa menjadi proposisi.

“w < v jika dan hanya jika v > w.”

Apakah ini pernyataan ? YA

Apakah ini proposisi ? YA

… karena nilai kebenarannya tidak bergantung harga spesifik x maupun y.

Apakah nilai kebenaran dari proposisi ini ? BENAR

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
IMPLIKASI

Untuk memahami implikasi, pelajarilah uraian berikut. Misalnya, Elzan berjanji pada Gusrayani, “Jika Sore nanti tidak hujan, maka saya akan mengajakmu nonton”. Janji Elzan ini hanyalah berlaku untuk kondisi sore nanti tidak hujan. Akibatnya, jika sore nanti hujan, tidak ada keharusan bagi Elzan untuk mengajak Gusrayani nonton.

Misalkan sore ini tidak hujan dan Elzan mengajak Gusrayani nonton, Gusrayani tidak akan kecewa karena Elzan memenuhi janjinya. Akan tetapi, jika sore ini hujan dan Elzan tetap mengajak Gusrayani menonton, Gusrayani tentu merasa senang sekali. Jika sore ini hujan dan Elzan tidak mengajak Gusrayani menonton, tentunya Gusrayani akan memakluminya. Bagaimana jika sore ini tidak hujan dan Elzan tidak mengajak Gusrayani menonton? Itu akan lain lagi ceritanya. Tentu saja Gusrayani akan kecewa dan menganggap Elzan sebagai pembohong yang tidak menepati janjinya.

Misalkan,   p : Sore tidak hujan.
                   q : Elzan mengajak Gusrayani menonton.

Pernyataan “jika sore nanti tidak hujan, maka Elzan akan mengajak Gusrayani nonton”. Dapat dinyatakan sebagai “jika p maka q” atau dilambangkan dengan “p  q”. Suatu pernyataan majemuk dengan bentuk “jika p maka q” disebut implikasi.
Misalkan p dan q adalah pernyataan. Suatu implikasi (pernyataan bersyarat) adalah suatu pernyataan majemuk dengan bentuk “jika p maka q”, dilambangkan dengan  p   q. Pernyataan p disebut hipotesis (ada juga yang menamakan anteseden) dari implikasi. Adapun pernyataan q disebut konklusi (atau kesimpulan, dan ada juga yang menamakan konsekuen). Implikasi bernilai salah hanya jika hipotesis p bernilai benar dan konklusi q bernilai salah; untuk kasus lainnya adalah benar. Perhatikan tabel berikut ini.

Tabel nilai kebenaran operasi implikasi

Terdapat perbedaan antara implikasi dalam keseharian dan implikasi dalam logika matematika. Dalam keseharian, pernyataan hipotesis/anteseden p haruslah memiliki hubungan dengan  pernyataan konklusi/konsekuen q. Misalnya, pada contoh implikasi sebelumnya, “Jika sore nanti tidak hujan maka saya akan mengajakmu nonton”. Terdapat hubungan sebab-akibat. Dalam logika matematika, pernyataan hipotesis/anteseden p tidak harus memiliki hubungan dengan konklusi/konsekuen q.
 Untuk lebih jelasnya, perhatikan Contoh dibawah ini.

Contoh:
Tentukanlah nilai kebenaran dari implikasi berikut !
a. Jika 4 + 7 = 10 maka besi adalah benda padat.
b. Jika 6 + 9 = 15 maka besi adalah benda cair.
c. Jika cos 30° = 0,5 maka 25 adalah bilangan ganjil.

Jawab :
a.   Jika 4 + 7 = 10 maka besi adalah benda padat.
      Alasan salah, kesimpulan benar. Jadi, implikasi bernilai benar.
b.   Jika 6 + 9 = 15 maka besi adalah benda cair.
      Alasan benar, kesimpulan salah. Jadi implikasi bernilai salah.
c.   Jika cos 30°= 0,5 maka 25 adalah bilangan ganjil.
     Alasan salah, kesimpulan salah. Jadi, implikasi bernilai benar.